BANE I FYSIKK: KJENNETEGN, TYPER, EKSEMPLER OG ØVELSER - FYSISK - 2025

Den bane i fysikk er den kurve som beskriver en mobil når den passerer gjennom suksessive punkter i løpet av sin bevegelse. Siden det kan ta mange varianter, så vil også banene som mobilen kan følge.

For å komme seg fra et sted til et annet, kan en person ta forskjellige stier og forskjellige måter: til fots gjennom fortauet i gater og veier, eller komme med bil eller motorsykkel på en motorvei. Under en tur gjennom skogen kan turgåeren følge en komplisert sti som inkluderer svinger, gå opp eller ned i nivå og til og med passere gjennom samme punkt flere ganger.

Figur 1. Sammenslåing av sluttpunktene til hver posisjonsvektor er banen som følges av partikkelen. Kilde: Algarabia

Hvis punktene som mobilen kjører gjennom følger en rett linje, vil banen være rettlinjet. Dette er den enkleste banen, ettersom den er endimensjonal. Å spesifisere stillingen krever en enkelt koordinat.

Men mobilen kan følge en krøllete bane, og være i stand til å være lukket eller åpen. I disse tilfellene krever sporing av stillingen to eller tre koordinater. Dette er bevegelser i henholdsvis flyet og i rommet. Dette har å gjøre med lenker: å begrense materielle bevegelsesforhold. Noen eksempler er:

- Banene som beskriver planetene rundt solen er lukkede stier i form av en ellipse. Selv om de i noen tilfeller kan tilnærmes til et sirkulært, som for jorden.

- Ballen som keeperen sparker i et målspark, følger en parabolsk bane.

- En fugl i flukt beskriver krøllete baner i verdensrommet, fordi den i tillegg til å bevege seg på et fly, kan gå opp eller ned i nivå etter ønske.

Banen i fysikk kan uttrykkes matematisk når posisjonen til mobilen er kjent når som helst. La r være posisjonsvektoren, som igjen har x, y og z-koordinater i det mest generelle tilfellet av en tredimensjonal bevegelse. Å kjenne til funksjonen r (t) banen vil bli helt bestemt.

typer

Generelt sett kan banen være en ganske komplisert kurve, spesielt hvis du vil uttrykke den matematisk. Av denne grunn begynner det med de enkleste modellene, der mobilene ferdes i en rett linje eller på et fly, som kan være gulvet eller noe annet passende:

Bevegelser i en, to og tre dimensjoner

De mest studerte bane er:

- Rettlinjet når du reiser på en rett, horisontal, vertikal eller skrå linje. En ball kastet vertikalt oppover følger denne banen, eller en gjenstand som glir ned en skråning følger. Det er endimensjonale bevegelser, en enkelt koordinat er nok til å bestemme deres posisjon fullstendig.

- Parabol , der mobilen beskriver en parabolabue. Det er hyppig, siden enhver gjenstand som kastes skrått under tyngdekraften (et prosjektil) følger denne banen. For å spesifisere posisjonen til mobilen må du oppgi to koordinater: x og y.

- Sirkulær , oppstår når den bevegelige partikkelen følger en sirkel. Det er også vanlig i naturen og i daglig praksis. Mange hverdagsobjekter følger en sirkulær bane som dekk, maskindeler og kretsende satellitter, for å gi noen få eksempler.

- Elliptisk , objektet beveger seg etter en ellipse. Som sagt i begynnelsen er det banen etterfulgt av planetene i bane rundt solen.

- Hyperboliske , astronomiske objekter under virkning av en sentral kraft (tyngdekraft), kan følge elliptiske (lukkede) eller hyperbolske (åpne) bane, disse er sjeldnere enn de førstnevnte.

- Helisk eller spiralbevegelse, som en fugl som stiger opp i en termisk strøm.

- Sway eller pendul , mobilen beskriver en bue i frem og tilbake bevegelser.

eksempler

Banene som er beskrevet i forrige seksjon er veldig nyttige for å raskt få et inntrykk av hvordan et objekt beveger seg. I alle fall er det nødvendig å avklare at banen til en mobil avhenger av observatørens beliggenhet. Dette betyr at den samme hendelsen kan sees på forskjellige måter, avhengig av hvor hver person er.

For eksempel pedaler en jente med konstant hastighet og kaster en ball oppover. Hun observerer at ballen beskriver en rettlinjet bane.

For en observatør som står på veien som ser den passere, vil imidlertid ballen ha en parabolsk bevegelse. For ham ble ballen opprinnelig kastet med en skrått hastighet, et resultat av hastigheten oppover av jentas hånd pluss sykkelens hastighet.

Figur 2. Denne animasjonen viser det vertikale kastet av en ball laget av en jente som sykler, slik hun ser den (rettlinjet bane) og sett av en observatør (parabolsk bane). (Utarbeidet av F. Zapata).

Sti til en mobil på eksplisitt, implisitt og parametrisk måte

- Eksplisitt , direkte angi kurven eller lokuset gitt av ligningen y (x)

- Implisitt , der en kurve er uttrykt som f (x, y, z) = 0

- Parametrisk , på denne måten er koordinatene x, y og z gitt som en funksjon av en parameter som generelt velges som tid t. I dette tilfellet er banen sammensatt av funksjonene: x (t), y (t) og z (t).

Deretter er to baner som har blitt studert mye i kinematikk, detaljert: den paraboliske banen og den sirkulære banen.

Vippet lansering inn i tomrommet

Et objekt (prosjektilet) blir kastet i en vinkel a med horisontal og med begynnelseshastighet v _o som vist på figuren. Luftmotstand er ikke tatt med i betraktningen. Bevegelsen kan behandles som to uavhengige og samtidige bevegelser: en horisontal med konstant hastighet og den andre vertikal under tyngdekraften.

Disse ligningene er de parametriske likningene ved prosjektiloppskyting. Som forklart over har de en felles parameter t, som er tid.

Følgende kan sees i høyre trekant på figuren:

Figur 3. Parabolsk bane etterfulgt av et prosjektil, der komponentene i hastighetsvektoren er vist. H er den maksimale høyden og R er den maksimale horisontale rekkevidden. Kilde: Ayush12gupta

Å erstatte disse ligningene som inneholder lanseringsvinkelen i parametriske ligninger, resulterer i:

Ligning av den paraboliske banen

Den eksplisitte ligningen av banen blir funnet ved å løse t fra ligningen for x (t) og erstatte ligningen med y (t). For å lette algebraisk arbeid kan det antas at opprinnelsen (0,0) befinner seg ved utskytningspunktet og dermed x _o = y _o = 0.

Dette er ligningen på banen i eksplisitt form.

Sirkulær bane

En sirkulær bane er gitt av:

Figur 4. En partikkel beveger seg i en sirkulær bane på planet. Kilde: modifisert av F. Zapata fra Wikimedia Commons.

Her x _eller yy _o representere senteret av omkretsen som er beskrevet av den mobile og R er dens radius. P (x, y) er et punkt på banen. Fra den skyggelagte høyre trekanten (figur 3) kan man se at:

Parameteren, i dette tilfellet, er sveipevinkelen θ, kalt vinkelforskyvningen. I det spesielle tilfellet at vinkelhastigheten ω (vinklet vippet per tidsenhet) er konstant, kan det anføres at:

Hvor θ _o er den opprinnelige vinkelposisjonen til partikkelen, som hvis den tas som 0, reduseres til:

I slike tilfeller går tiden tilbake til de parametriske ligningene som:

Enhetsvektorene i og j er veldig praktisk for å skrive posisjonsfunksjonen til et objekt r (t). De angir instruksjonene på henholdsvis x-aksen og på y-aksen. Når det gjelder ordene, er posisjonen til en partikkel som beskriver en enhetlig sirkulær bevegelse:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

Løste øvelser

Løst øvelse 1

En kanon kan skyte en kule med en hastighet på 200 m / s og en vinkel på 40 º i forhold til horisontalen. Hvis kastet er på flat mark og luftmotstand forsømmes, finn:

a) Ligningen til banen y (x) ..

b) De parametriske ligningene x (t) og y (t).

c) Det horisontale området og tiden som prosjektilet varer i luften.

d) Høyden som prosjektilet er når x = 12.000 m

Løsning på)

a) For å finne banen, erstattes verdiene gitt i ligningen y (x) i forrige seksjon:

Løsning b)

b) Startpunktet velges ved koordinatsystemets opprinnelse (0,0):

Løsning c)

c) For å finne tiden som prosjektilet varer i luften, la y (t) = 0, der utskytingen er gjort på flat mark:

Maksimal horisontal rekkevidde blir funnet ved å erstatte denne verdien i x (t):

En annen måte å finne x _maks direkte på er ved å stille y = 0 i ligningen på banen:

Det er en liten forskjell på grunn av avrunding av desimalene.

Løsning d)

d) For å finne høyden når x = 12000 m, erstattes denne verdien direkte i ligningen av banen:

Trening løst 2

Posisjonsfunksjonen til et objekt er gitt av:

r (t) = 3t i + (4 -5t ² ) j m

Finne:

a) Ligningen for banen. Hvilken kurve er det?

b) Startposisjonen og stillingen når t = 2 s.

c) Forskyvningen utført etter t = 2 s.

Løsning

a) Posisjonsfunksjonen er gitt i form av enhetsvektorene i og j , som henholdsvis bestemmer retningen i x- og y-aksene, derfor:

Ligningen til banen y (x) blir funnet ved å løse t fra x (t) og erstatte i y (t):

b) Utgangsposisjonen er: r (2) = 4 j m; stillingen ved t = 2 s er r (2) = 6 i -16 j m

c) Fortrengningen Dr er subtraksjon av de to posisjonsvektorene:

Trening løst 3

Jorden har en radius R = 6300 km og det er kjent at rotasjonsperioden for bevegelsen rundt dens akse er en dag. Finne:

a) Ligningen av banen til et punkt på jordoverflaten og dens posisjonsfunksjon.

b) Hastigheten og akselerasjonen til dette punktet.

Løsning på)

a) Posisjonsfunksjonen for et hvilket som helst punkt i en sirkulær bane er:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

Vi har radien til jorden R, men ikke vinkelhastigheten ω, men den kan beregnes fra perioden, vel vitende om at for sirkulær bevegelse er det gyldig å si at:

Bevegelsesperioden er: 1 dag = 24 timer = 1440 minutter = 86 400 sekunder, derfor:

Erstatter i posisjonsfunksjonen:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j = 6300 (cos 0.000023148t i + sin 0.000023148t j ) Km

Stien i parametrisk form er:

Løsning b)

b) For sirkulær bevegelse er størrelsen på den lineære hastigheten v til et punkt relatert til vinkelhastigheten w ved:

Selv om det er en bevegelse med konstant hastighet på 145,8 m / s, er det en akselerasjon som peker mot midten av sirkulær bane, med ansvar for å holde punktet i rotasjon. Det er den centripetale akselerasjonen ved _c , gitt av:

referanser

1. Giancoli, D. Fysikk. (2006). Prinsipper med applikasjoner. 6 ^th Prentice Hall. 22-25.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Fysikk: En titt på verden. 6 ^ta Redigering forkortet. Cengage Learning. 23. – 27.
3. Resnick, R. (1999). Fysisk. Bind 1. Tredje utgave på spansk. Mexico. Compañía Editorial Continental SA de CV 21-22.
4. Rex, A. (2011). Grunnleggende om fysikk. Pearson. 33 - 36
5. Sears, Zemansky. (2016). Universitetsfysikk med moderne fysikk. 14 ^th . Utgave bind 1. 50 - 53.
6. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fysikk for vitenskap og ingeniørfag. Volum 1. 7 ^ma . Edition. Mexico. Cengage Learning Editors. 23-25.
7. Serway, R., Vulle, C. (2011). Grunnleggende om fysikk. 9 ^na Ed. Cengage Learning. 43 - 55.
8. Wilson, J. (2011). Fysikk 10. Pearson Education. 133-149.