- kjennetegn
- Sine teorem
- Kosinosetning
- typer
- Like sidelige akutte trekanter
- Isosceles akutte trekanter
- Scene akutte trekanter
- Oppløsning av akutte trekanter
- Eksempel 1
- Eksempel 2
De akutte trekantene er de hvis tre indre vinkler er akutte vinkler; det vil si at målet for hver av disse vinklene er mindre enn 90 ° grader. Ved å ikke ha noen rett vinkel, har vi at Pythagorean teorem ikke holder for denne geometriske figuren.
Derfor, hvis vi ønsker å ha en slags informasjon om noen av sidene eller vinklene, er det nødvendig å gjøre bruk av andre teoremer som lar oss få tilgang til nevnte data. De vi kan bruke er sinusetningen og kosinusetningen.
kjennetegn
Blant egenskapene som denne geometriske figuren har, kan vi fremheve de som er gitt ved det enkle faktum å være en trekant. Blant disse har vi:
- En trekant er en polygon som har tre sider og tre vinkler.
- Summen av de tre indre vinklene er lik 180 °.
- Summen av to av sidene er alltid større enn den tredje.
La oss som et eksempel se på følgende trekant ABC. På en generell måte identifiserer vi sidene med en liten bokstav og dens vinkler med en stor bokstav, på en slik måte at den ene siden og den motsatte vinkelen har samme bokstav.
Fra kjennetegn som allerede er gitt, vet vi at:
A + B + C = 180 °
a + b> c, a + c> b og b + c> a
Hovedtrekket som skiller denne typen trekanter fra resten er at, som vi allerede har nevnt, de indre vinklene er akutte; det vil si at målet for hver av vinklene er mindre enn 90 °.
Akutte trekanter, sammen med stødige trekanter (de der en av vinklene har et mål større enn 90 °), er en del av settet med skrå trekanter. Dette settet består av trekantene som ikke er rette vinkler.
Siden de skrå trekantene inngår, må vi være i stand til å løse problemer som involverer akutte trekanter, vi må benytte oss av sinussteoremet og kosinussteoremet.
Sine teorem
Sinussteoremet forteller oss at forholdet mellom den ene siden og sinusen i den motsatte vinkelen er lik to ganger radius av sirkelen dannet av de tre toppunktene i trekanten. Det er å si:
2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)
Kosinosetning
På den annen side gir kosinus-teoremet oss disse tre likhetene for en hvilken som helst trekant ABC:
a 2 = b 2 + c 2 -2bc * cos (A)
b 2 = a 2 + c 2 -2ac * cos (B)
c 2 = a 2 + b 2 -2ab * cos (C)
Disse teoremene er også kjent som henholdsvis sinusens og loven om kosinus.
Et annet kjennetegn som vi kan gi for de akutte trekantene, er at to av disse er like hvis de oppfyller noen av følgende kriterier:
- Hvis de har de samme tre sidene.
- Hvis de har en side og to like vinkler på hverandre.
- Hvis de har to like sider og en vinkel.
typer
Akutte trekanter kan klassifiseres i henhold til sidene. Disse kan være:
Like sidelige akutte trekanter
De er de akutte trekantene som har alle sidene like, og derfor har alle indre vinkler den samme verdien, som er A = B = C = 60 ° grader.
La oss som et eksempel ta den følgende trekanten, hvis sider a, b og c har en verdi på 4.
Isosceles akutte trekanter
Disse trekantene har, i tillegg til å ha akutte indre vinkler, kjennetegn ved å ha to av sine like sider, og den tredje, som generelt sett blir tatt som basen, forskjellig.
Et eksempel på denne typen trekanter kan være en hvis base er 3 og de to andre sidene har en verdi på 5. Med disse målingene ville den ha motsatte vinkler til de like sidene med verdien 72,55 ° og motsatt vinkel på basen ville være 34,9 °.
Scene akutte trekanter
Dette er trekantene som alle har forskjellige sider to etter to. Derfor er alle dens vinkler, i tillegg til at de er mindre enn 90 °, forskjellige fra to til to.
Trekanten DEF (hvis mål er d = 4, e = 5 og f = 6 og dens vinkler er D = 41,41 °, E = 55,79 ° og F = 82,8 °) er et godt eksempel på en akutt trekant scalene.
Oppløsning av akutte trekanter
Som vi sa før, for å løse problemer som involverer akutte trekanter, er det nødvendig å bruke sinus- og kosinus-teoreme.
Eksempel 1
Gitt en trekant ABC med vinkler A = 30 °, B = 70 ° og side a = 5cm, ønsker vi å vite verdien av vinkel C og sidene b og c.
Det første vi gjør er å bruke det faktum at summen av de indre vinklene til en trekant er 180 °, for å oppnå verdien av vinkel C.
180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C
Vi tømmer C og vi har:
C = 180 ° - 100 ° = 80 °
Siden vi allerede kjenner de tre vinklene og den ene siden, kan vi bruke sinussteoremet for å bestemme verdien på de gjenværende sidene. Ved teorem har vi:
a / sin (A) = b / sin (B) og a / sin (A) = c / (sin (C)
Vi isolerer b fra ligningen og sitter igjen med:
b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4
Nå trenger vi bare å beregne verdien av c. Vi fortsetter på samme måte som i forrige tilfelle:
c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,998) / (0,5) ≈ 9,84
Dermed får vi alle dataene i trekanten. Som vi ser, faller denne trekanten i kategorien skalen akutt trekant.
Eksempel 2
Gitt en trekant DEF med sidene d = 4cm, e = 5cm og f = 6cm, ønsker vi å vite verdien av vinklene til den nevnte trekanten.
I dette tilfellet vil vi bruke kosinusloven som forteller oss at:
d 2 = e 2 + f 2 - 2efcos (D)
Fra denne ligningen kan vi løse for cos (D), som gir oss som et resultat:
Cos (D) = ((4) 2 - (5) 2 - (6) 2 ) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75
Derfor har vi D≈ 41,41 °
Ved å bruke senom teorem har vi følgende ligning:
d / (sin (D) = e / (sin (E)
Løs for synd (E), har vi:
sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 ≈ 0,827
Derfor har vi E≈55,79 °
Til slutt, med at summen av de indre vinklene til en trekant er 180 °, har vi F we82,8 °.
- Landaverde, F. d. (1997). Geometry (Reprint ed.). Framgang.
- Leake, D. (2006). Trekanter (illustrert red.). Heinemann-Raintree.
- Leal G. Juan Manuel. (2003). Plansmetrisk geometri. CODEPRE
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrier. CR-teknologi.
- Sullivan, M. (1997). Trigonometri og analytisk geometri. Pearson Education.