ELASTISKE STØT: I EN DIMENSJON, SPESIELLE TILFELLER, ØVELSER - FYSISK - 2025

De elastiske kollisjonene eller de elastiske kollisjonene er korte, men intense interaksjoner mellom objekter, der både momentum og kinetisk energi blir bevart. Krasj er svært hyppige hendelser i naturen: fra subatomære partikler til galakser, til biljardkuler og støtfangerbiler på fornøyelsesparker, de er alle objekter som kan kollidere.

Under en kollisjon eller kollisjon er kreftene i samspillet mellom objekter veldig sterke, mye mer enn de som kan opptre eksternt. På denne måten kan det anføres at partiklene under kollisjonen danner et isolert system.

Biljardkollisjoner kan betraktes som elastiske. Kilde: Pixabay.

I dette tilfellet er det sant at:

Momentet P _o før kollisjonen er det samme som etter kollisjonen. Dette gjelder for alle typer kollisjoner, både elastiske og uelastiske.

Tenk nå på følgende: Under en kollisjon gjennomgår gjenstander en viss deformasjon. Når sjokket er elastisk, går gjenstander raskt tilbake til sin opprinnelige form.

Bevaring av kinetisk energi

Normalt under en krasj blir en del av energien til objekter brukt på varme, deformasjoner, lyd og noen ganger til og med på å produsere lys. Så den kinetiske energien til systemet etter kollisjonen er mindre enn den opprinnelige kinetiske energien.

Når den kinetiske energien K er bevart, så:

Noe som betyr at kreftene som virker under kollisjonen er konservative. Under kollisjonen blir den kinetiske energien kort omgjort til potensiell energi og deretter tilbake til kinetisk energi. De respektive kinetiske energiene varierer, men summen forblir konstant.

Perfekt elastiske kollisjoner er sjeldne, selv om biljardkuler er en ganske god tilnærming, og kollisjoner som oppstår mellom ideelle gassmolekyler.

Elastiske støt i en dimensjon

La oss undersøke en kollisjon av to partikler av dette i en enkelt dimensjon; det vil si at de samvirkende partiklene beveger seg, si, langs x-aksen. Anta at de har massene m ₁ og m ₂ . Begynnelseshastighetene for hver er henholdsvis u _{1 og} u ₂ . De endelige hastighetene er v ₁ og v ₂ .

Vi kan avstå fra vektornotasjonen, siden bevegelsen utføres langs x-aksen, men tegnene (-) og (+) indikerer bevegelsesretningen. Til venstre er negativ og til høyre positiv, etter stevne.

-Formel for elastiske kollisjoner

For mengden bevegelse

For kinetisk energi

Så lenge massene og begynnelseshastighetene er kjent, kan ligningene omgrupperes for å finne de endelige hastighetene.

Problemet er at det i prinsippet er nødvendig å utføre litt kjedelig algebra, siden likningene for kinetisk energi inneholder rutene til hastighetene, noe som gjør beregningen litt tungvint. Idealet ville være å finne uttrykk som ikke inneholder dem.

Den første er å avstå fra faktoren ½ og omorganisere begge ligningene på en slik måte at et negativt tegn vises og massene kan tas opp:

Å komme til uttrykk på denne måten:

Forenkling for å eliminere kvadratene til hastighetene

Nå må vi gjøre bruk av den bemerkelsesverdige produktsummen ved dens forskjell i den andre ligningen, som vi får et uttrykk som ikke inneholder rutene, som opprinnelig ønsket:

Neste trinn er å erstatte den første ligningen i den andre:

Og siden begrepet m ₂ (v ₂ - u ₂ ) gjentas på begge sider av likestillingen, avbrytes nevnte begrep og forblir slik:

Eller enda bedre:

Endelige hastigheter v

Nå har du to lineære ligninger som er lettere å jobbe med. Vi vil legge dem tilbake under hverandre:

Å multiplisere den andre ligningen med m ₁ og legge til termin til termin er:

Og det er allerede mulig å fjerne v ₂ . For eksempel:

Spesielle tilfeller ved elastiske kollisjoner

Nå som ligninger er tilgjengelige for endelige hastigheter for begge partikler, er det på tide å analysere noen spesielle situasjoner.

To identiske masser

I så fall m ₁ = m ₂ = min:

Partiklene bytter ganske enkelt ut hastighetene etter kollisjonen.

To identiske masser, hvor den ene i utgangspunktet var i ro

Igjen m ₁ = m ₂ = m og antar u ₁ = 0:

Etter kollisjonen får partikkelen som var i ro samme hastighet som partikkelen som beveget seg, og dette stopper igjen.

To forskjellige masser, den ene i utgangspunktet i ro

Anta i dette tilfellet at u ₁ = 0, men massene er forskjellige:

Hva om m ₁ er mye større enn m ₂ ?

Det hender at m ₁ fremdeles er i ro og m ₂ returneres med samme hastighet som det påvirket.

Restitusjonskoeffisient eller Huygens-Newton-regel

Tidligere ble følgende forhold mellom hastighetene avledet for to objekter i elastisk kollisjon: u ₁ - u ₂ = v ₂ - v ₁ . Disse forskjellene er de relative hastighetene før og etter kollisjonen. Generelt sett er det sant at for en kollisjon:

Begrepet relativ hastighet blir best verdsatt hvis leseren forestiller seg at han er på et av partiklene og fra denne posisjonen observerer han hastigheten den andre partikkelen beveger seg med. Ligningen ovenfor skrives om slik:

Løste øvelser

-Løst øvelse 1

En biljardkule beveger seg til venstre i 30 cm / s, og kolliderer mot en annen identisk ball som beveger seg til høyre i 20 cm / s. De to ballene har samme masse og kollisjonen er perfekt elastisk. Finn hastigheten på hver ball etter påvirkning.

Løsning

u ₁ = -30 cm / s

u ₂ = +20 cm / s

Dette er det spesielle tilfellet der to identiske masser kolliderer i en dimensjon elastisk, derfor blir hastighetene utvekslet.

v ₁ = +20 cm / s

v ₂ = -30 cm / s

-Løst øvelse 2

Restitusjonskoeffisienten til en ball som spretter fra bakken er lik 0,82. Hvis den faller fra hvile, hvilken brøkdel av den opprinnelige høyden vil ballen nå etter å ha sprette en gang? Og etter 3 returer?

En ball spretter fra en fast overflate og mister høyden med hver sprett. Kilde: self made.

Løsning

Jordsmonnet kan være objekt 1 i ligningen for restitusjonskoeffisienten. Og det blir alltid i ro, slik at:

Med denne hastigheten spretter den:

+ -Tegnet indikerer at det er en stigende hastighet. Og ifølge den når ballen en maksimal høyde på:

Nå vender den tilbake til bakken igjen med en hastighet av lik størrelse, men motsatt tegn:

Dette oppnår en maksimal høyde på:

Gå tilbake til bakken med:

Suksessfulle sprett

Hver gang ballen spretter og reiser seg, multipliserer du farten igjen med 0,82:

På dette tidspunktet er h ₃ omtrent 30% av h _o . Hva ville være høyden til det 6. sprett uten å måtte gjøre så detaljerte beregninger som de forrige?

Det ville være h ₆ = 0,82 ¹² t _o = 0,092 _t o bare 9% av h _o .

-Løst øvelse 3

En 300-g blokk beveger seg nordover ved 50 cm / s og kolliderer med en 200-g-blokk blokkerer sørover ved 100 cm / s. Anta at sjokket er perfekt elastisk. Finn hastighetene etter påvirkning.

Data

m ₁ = 300 g; u ₁ = + 50 cm / s

m ₂ = 200 g; u ₂ = -100 cm / s

-Løst øvelse 4

En masse på m ₁ = 4 kg frigjøres fra det angitte punktet på det friksjonsløse sporet til det kolliderer med m ₂ = 10 kg i ro. Hvor høy stiger m ₁ etter kollisjonen?

Løsning

Siden det ikke er noen friksjon, blir den mekaniske energien bevart for å finne hastigheten u ₁ som m ₁ treffer m _2. Opprinnelig er den kinetiske energien 0, siden m ₁ starter fra hvile. Når den beveger seg på den horisontale overflaten har den ingen høyde, så den potensielle energien er 0.

Nå beregnes hastigheten på m ₁ etter kollisjonen:

Det negative tegnet betyr at det er returnert. Med denne hastigheten stiger den opp og den mekaniske energien blir bevart igjen for å finne h ', høyden den klarer å stige opp etter kollisjonen:

Merk at det ikke går tilbake til startpunktet i 8 m høyde. Den har ikke nok energi fordi massen m ₁ ga fra seg en del av dens kinetiske energi _.

referanser

1. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6 ^th . Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentals of Physics. 9 ^na Cengage Learning. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Physics for Science and Technology. 5. utgave bind 1. Redaksjonell gjenferd. 217-238
5. Tippens, P. 2011. Fysikk: begreper og applikasjoner. 7. utgave. MacGraw Hill. 185-195