ENEAGON: EGENSKAPER, HVORDAN LAGE EN ENEAGON, EKSEMPLER - MATTE

En enegon er et polygon med ni ni sider og topp-punkt, som kan eller ikke kan være vanlig. Navnet eneágono kommer fra det greske og består av de greske ordene ennea (ni) og gonon (vinkel).

Et alternativt navn for den ni-sidige polygonen er nonagon, som kommer fra det latinske ordet nonus (ni) og gonon (toppunkt). På den annen side, hvis sidene eller vinklene på eneagonet er ulikt med hverandre, så har du en uregelmessig eneagon. Hvis derimot alle ni sidene og ni vinklene på eneagon er like, er det en vanlig eneagon.

Figur 1. Vanlig eneagon og irregular eneagon. (Egen utdyping)

Eneagons egenskaper

For en polygon med n sider er summen av dens indre vinkler:

(n - 2) * 180º

I enegon ville det være n = 9, så summen av de indre vinklene er:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

I en hvilken som helst polygon er antall diagonaler:

D = n (n - 3) / 2 og for enegon, siden n = 9, har vi D = 27.

Vanlig enegon

I den vanlige eneagon eller nonagon er det ni (9) indre vinkler med samme mål, derfor måler hver vinkel en niendedel av den totale summen av de indre vinklene.

Målet på de indre vinklene til en enegon er da 1260º / 9 = 140º.

Figur 2. Apotem, radius, sider, vinkler og toppunkt på en vanlig eneagon. (Egen utdyping)

For å utlede formelen for området til en vanlig enegon med side d, er det praktisk å lage noen hjelpekonstruksjoner, slik som de som er vist i figur 2.

Sentrum O blir funnet ved å spore halvdelene på to tilstøtende sider. Midt O-ekvististent fra hjørnene.

En radius med lengde r er segmentet fra sentrum O til en toppunkt av enegon. Figur 2 viser radiene OD og OE med lengden r.

Apoten er segmentet som går fra sentrum til midtpunktet på den ene siden av enegon. For eksempel er OJ et apotem hvis lengde er en.

Område av en enegon kjent siden og apoten

Vi betrakter trekanten ODE i figur 2. Området til denne trekanten er produktet av dens base DE og høyden OJ delt med 2:

ODE-område = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Siden det er 9 trekanter med lik areal i enegonet, konkluderes det med at området med det samme er:

Enegon-området = (9/2) (d * a)

Område av en kjent side om siden

Hvis bare lengden d på sidene av enegon er kjent, er det nødvendig å finne lengden på apoten for å anvende formelen i forrige avsnitt.

Vi vurderer den rette trekanten OJE i J (se figur 2). Hvis tangent trigonometrisk forhold brukes, oppnår vi:

tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.

Vinkelen ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, siden EO er halvparten av den indre vinkelen til enegon.

På den annen side er OJ prototypen til lengde a.

Da J er midtpunktet for ED, følger det at EJ = d / 2.

Å erstatte de forrige verdiene i tangensforholdet vi har:

brunfarge (70º) = a / (d / 2).

Nå renser vi lengden på apoten:

a = (d / 2) solbrun (70º).

Det forrige resultatet erstattes i områdeformelen for å oppnå:

Område av enegon = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) brunfarge (70º))

Til slutt finner vi formelen som gjør det mulig å få arealet til den vanlige enegon hvis bare lengden d på sidene er kjent:

Arealet av enegon = (9/4) d ² brunfarge (70º) = 6.1818 d ²

Omkrets av vanlig enegon kjent sin side

Omkretsen av en polygon er summen av sidene. Når det gjelder enegon, ettersom hver av sidene måler en lengde d, vil omkretsen være summen av ni ganger d, det vil si:

Omkrets = 9 d

Omkretsen av enegonet kjent sin radius

Tatt i betraktning den rette trekanten OJE i J (se figur 2), brukes det trigonometriske kosinusforholdet:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Hvor er det hentet fra:

d = 2r cos (70º)

Ved å erstatte dette resultatet får vi formelen for omkretsen som en funksjon av enegonets radius:

Omkrets = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Hvordan lage en vanlig enegon

1- For å bygge et vanlig eneagon, med en linjal og et kompass, start fra omkretsen c som omskriver eneagonet. (se figur 3)

2- To vinkelrett linjer trekkes gjennom omkretsets sentrum O. Da er kryssene A og B på en av linjene merket med omkretsen.

3- Med kompasset, sentrert ved avskjæringen B og åpningen lik radius BO, trekkes en bue som avskjærer den opprinnelige omkretsen på et punkt C.

Figur 3. Fremgangsmåte for å bygge en vanlig enegon. (Egen utdyping)

4- Det forrige trinnet gjentas, men ved å lage et senter ved A og radius AO trekkes det en bue som avskjærer omkretsen c ved punkt E.

5- Med åpning av vekselstrøm og senter i A tegnes en omkretsbue. På samme måte med åpning av BE og sentrum B tegnes en annen bue. Skjæringspunktet mellom disse to buer er markert som punkt G.

6- Sentrering ved G og åpning av GA tegnes en bue som avskjærer sekundæraksen (horisontal i dette tilfellet) ved punkt H. Skjæringspunktet mellom sekundæraksen og den opprinnelige omkretsen c er merket som I.

7- Lengden på segmentet IH er lik lengden d på siden av enegon.

8- Med kompassåpning IH = d, tegnes buer av sentrum A radius AJ, midtre J radius AK, sentrum K radius KL og sentrum L radius LP suksessivt.

9- Tilsvarende, fra A og fra høyre side, tegnes buer med radius IH = d som markerer punktene M, N, C og Q på den opprinnelige omkretsen c.

10- Til slutt tegnes segmentene AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ og til slutt PB.

Det skal bemerkes at konstruksjonsmetoden ikke er helt nøyaktig, siden det kan bekreftes at den siste siden PB er 0,7% lengre enn de andre sidene. Til dags dato er det ingen kjent konstruksjonsmetode med en linjal og kompass som er 100% nøyaktig.

eksempler

Her er noen gjennomarbeidede eksempler.

Eksempel 1

Vi ønsker å bygge en vanlig enegon hvis sider måler 2 cm. Hvilken radius må ha omkretsen som omkranser den, slik at ved å anvende konstruksjonen beskrevet tidligere oppnås ønsket resultat?

I et forrige avsnitt ble formelen som relaterer radius r for den omskrevne sirkelen og siden d til en vanlig enegon, trukket ut:

d = 2r cos (70º)

Løsning for r fra forrige uttrykk vi har:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d

Å erstatte verdien d = 2 cm i den forrige formelen gir en radius r på 2,92 cm.

Eksempel 2

Hva er området for en vanlig enegon med en side 2 cm?

For å svare på dette spørsmålet, må vi referere til formelen, som tidligere er vist, som lar oss finne området til en kjent enegon med lengden d på siden: