- multiplikasjon av et reelt tall α av en vektor v : α v gir en annen vektor og tilhører V .

Kunstnerisk syn på et vektorrom. Kilde: Pixabay

For å betegne en vektor bruker vi fet skrift ( v er en vektor), og for skalarer eller tall greske bokstaver (α er et tall).

Aksiomer og egenskaper

For at det skal gis en vektorrom, må følgende åtte aksiomer ha:

1-kommutabilitet: u + v = v + u

2-transitivitet: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-Eksistens av nullvektoren 0 slik at 0 + v = v

4-Eksistens av det motsatte: det motsatte av v er (- v ), siden v + (- v ) = 0

5-Distributivitet av produktet med hensyn til vektorsummen: α ( u + v ) = α u + α v

6-Distributivitet av produktet i forhold til skalærsummen: (α + β) v = α v + β v

7-assosiativiteten til det skalære produktet: α ( v ) = (α β) v

8-Tallet 1 er det nøytrale elementet siden: 1 v = v

Eksempler på vektorrom

Eksempel 1

Vektorer i (R²) -planet er et eksempel på et vektorrom. En vektor i planet er et geometrisk objekt som har størrelse og retning. Det er representert av et orientert segment som hører til nevnte plan og med en størrelse proporsjonal med dens størrelse.

Summen av to vektorer i planet kan defineres som den geometriske translasjonsoperasjonen til den andre vektoren etter den første. Resultatet av summen er det orienterte segmentet som starter fra opprinnelsen til det første og når spissen av det andre.

I figuren kan det sees at summen i R² er kommutativ.

Figur 2. Vektorer i planet danner vektorrom. Kilde: self made.

Produktet til et tall α og en vektor er også definert. Hvis tallet er positivt, holdes retningen til den opprinnelige vektoren, og størrelsen er α ganger den opprinnelige vektoren. Hvis tallet er negativt, er retningen motsatt, og størrelsen på den resulterende vektoren er den absolutte verdien av tallet.

Vektoren motsatt hvilken som helst vektor v er - v = (- 1) v .

Nullvektoren er et punkt i R²-planet, og tallet null ganger en vektor gir nullvektoren.

Alt som er sagt er illustrert i figur 2.

Eksempel 2

Settet P for alle polynomer med grad mindre enn eller lik to, inkludert grad null, danner et sett som tilfredsstiller alle aksiomene i et vektorrom.

La polynomet P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Summen av to polynomer er definert: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Summen av polynomer som tilhører settet P er kommutative og transitive.

Nullpolynomet som tilhører settet P er en som har alle dens koeffisienter lik null:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Summen av en skalær α med et polynom er definert som: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Det motsatte polynomet av P (x) er -P (x) = (-1) P (x).

Fra alt det ovennevnte følger det at settet P for alle polynomer med grad mindre enn eller lik to er et vektorrom.

Eksempel 3

Settet M for alle matriser av m rader xn kolonner hvis elementer er reelle tall danner et reelt vektorrom, med hensyn til operasjonene av tilsetning av matriser og produkt av et tall ved en matrise.

Eksempel 4

Settet F av kontinuerlige funksjoner med reell variabel, danner et vektorrom, siden det er mulig å definere summen av to funksjoner, multiplikasjonen av en skalar med en funksjon, nullfunksjonen og den symmetriske funksjonen. De oppfyller også aksiomene som kjennetegner et vektorrom.

Basen og dimensjonen til et vektorrom

Utgangspunkt

Basen til et vektorrom er definert som et sett med lineært uavhengige vektorer slik at fra en lineær kombinasjon av dem kan en hvilken som helst vektor av dette vektorrommet genereres.

Lineær kombinasjon av to eller flere vektorer består i å multiplisere vektorene med en viss skalar og deretter legge dem vektorielt.

For eksempel, i vektorområdet til vektorer i tre dimensjoner dannet av R3, brukes den kanoniske basis definert av enhetsvektorene (med størrelsesorden 1) i , j , k .

Hvor i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Dette er de kartesiske eller kanoniske vektorene.

Enhver vektor V som tilhører R3 er skrevet som V = a i + b j + c k , som er en lineær kombinasjon av basisvektorene i , j , k . En skalar eller tall a, b, c er kjent som kartesiske komponenter av V .

Det sies også at basisvektorene i et vektorrom danner et generatorsett av vektorrommet.

Dimensjon

Dimensjonen til et vektorrom er kardinalnummeret til en vektorbasis for det rommet; det vil si antall vektorer som utgjør nevnte base.

Denne kardinal er det maksimale antallet lineært uavhengige vektorer i det vektorområdet, og samtidig det minste antall vektorer som danner et generatorsett av det rommet.

Basene i et vektorrom er ikke unike, men alle basene i det samme vektorområdet har den samme dimensjonen.

Vector underområde

Et vektorsubområde S i et vektorrom V er et delmengde av V der de samme operasjonene er definert som i V og oppfyller alle vektorromaksiommer. Derfor vil underområdet S også være et vektorrom.

Eksempel på vektorsubområde er vektorene som tilhører XY-planet. Dette underområdet er et delmengde av et vektorrom med dimensjonalitet større enn settet med vektorer som tilhører det tredimensjonale rommet XYZ.

Et annet eksempel på et vektorsubområde S1 i vektorområdet S dannet av alle 2 × 2 matriser med reelle elementer er definert nedenfor:

På den annen side, S2 definert nedenfor, selv om det er en undergruppe av S, danner ikke et vektorsubområde:

Løste øvelser

-Øvelse 1

La vektorene V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) og V3 = (0, 0, 3) i R³.

a) Vis at de er lineært uavhengige.

b) Vis at de danner grunnlag i R³, siden enhver trippel (x, y, z) kan skrives som en lineær kombinasjon av V1, V2, V3.

c) Finn komponentene til trippel V = (-3,5,4) i basen V1 , V2 , V3 .

Løsning

Kriteriet for å demonstrere lineær uavhengighet består i å etablere følgende sett med ligninger i α, β og γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + y (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

I tilfelle den eneste løsningen på dette systemet er α = β = γ = 0, er vektorene lineært uavhengige, ellers er de ikke det.

For å oppnå verdiene til α, β og γ foreslår vi følgende ligningssystem:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Den første fører til α = 0, den andre α = -2 ∙ β, men siden α = 0 så er β = 0. Den tredje ligningen innebærer at γ = (- 1/3) β, men siden β = 0 så er γ = 0.

Svar til

Det konkluderes med at det er et sett med lineært uavhengige vektorer i R³.

Svar b

La oss nå skrive trippelen (x, y, z) som en lineær kombinasjon av V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + y V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Hvor har du:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 y = z

Den første indikerer α = x, den andre β = (yx) / 2 og den tredje γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. På denne måten har vi funnet generatorene til α, β og γ fra enhver triplett av R3

Svar c

La oss gå videre for å finne komponentene til trippel V = (-3,5,4) i basen V1 , V2 , V3 .

Vi erstatter de tilsvarende verdiene i uttrykkene som er funnet ovenfor for generatorene.

I dette tilfellet har vi: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Det er:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Etter sist:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Vi konkluderer med at V1, V2, V3 danner et grunnlag i vektorrommet R³ i dimensjon 3.

-Øvelse 2

Uttrykk polynomet P (t) = t² + 4t -3 som en lineær kombinasjon av P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t og P3 (t) = t + 3.

Løsning

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

hvor tallene x, y, z skal bestemmes.

Å multiplisere og gruppere begrep med samme grad i t gir:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Noe som fører oss til følgende ligningssystem:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Løsningene til dette ligningssystemet er:

x = -3, y = 2, z = 4.

Det er:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Øvelse 3

Vis at vektorene v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) og v3 = (2, 1, -1, 1) av R⁴ er lineært uavhengige.

Løsning

Vi kombinerer lineært de tre vektorene v1 , v2 , v3 og krever at kombinasjonen tilfører nullelementet til R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Det er å si,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Dette fører oss til følgende ligningssystem:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Å trekke fra det første og fjerde har vi: -a + c = 0 som innebærer a = c.

Men hvis vi ser på den tredje ligningen, har vi den a = -c. Den eneste måten a = c = (- c) holder på er at c skal være 0 og derfor vil en også være 0.

a = c = 0

Hvis vi kobler dette resultatet til den første ligningen, konkluderer vi at b = 0.

Til slutt a = b = c = 0, slik at det kan konkluderes med at vektorene v1, v2 og v3 er lineært uavhengige.

referanser

1. Lipschutz, S. 1993. Lineær algebra. Andre utgave. McGraw-Hill. 167-198.