VINKELRETT LINJE: EGENSKAPER, EKSEMPLER, ØVELSER - MATTE - 2025

En vinkelrett linje er en linje som danner en vinkel på 90 º i forhold til en annen linje, kurve eller overflate. Merk at når to linjer er vinkelrett og ligger på samme plan, når de skjærer hverandre, danner de fire identiske vinkler, hver 90º.

Hvis en av vinklene ikke er 90º, sies linjene å være skrå. Vinkelrette linjer er vanlige i design, arkitektur og konstruksjon, for eksempel rørnettet i det følgende bildet.

Figur 1. Nettverk av rør i rette vinkler og mange vinkelrett linjer. Hvor mange 90º vinkler kan telles i dette bildet? Kilde: Piqsels.

Orienteringen til de vinkelrette linjene kan være forskjellige, slik som de som er vist nedenfor:

Figur 2. Vinkelrett linjer på planet. Kilde: F. Zapata.

Uansett plassering gjenkjennes linjer vinkelrett på hverandre ved å identifisere vinkelen mellom dem som 90 °, med hjelp av gradskive.

Legg merke til at i motsetning til parallelle linjer i planet, som aldri krysser hverandre, gjør vinkelrette linjer det alltid på et punkt P, kalt foten til den ene linjen på den andre. Derfor er også to vinkelrette linjer sikre.

Enhver linje har uendelige vinkelrette sider, for bare ved å flytte segment AB til venstre eller høyre på segment-CD, vil vi ha nye vinkler med en annen fot.

Imidlertid kalles vinkelrett som passerer rett gjennom midtpunktet til et segment, halvdelen av det segmentet.

Eksempler på vinkelrett linjer

Vinkelrette linjer er vanlige i det urbane landskapet. I det følgende bildet (figur 3) er bare noen få av de mange vinkelrette linjene som kan sees i den enkle fasaden til denne bygningen og dens elementer som dører, kanaler, trinn og mer, fremhevet:

Figur 3. Det er et stort antall vinkelrett linjer på fasaden til et felles bygg som dette. Kilde: Richard Kang via Flickr.

Det gode er at tre linjer vinkelrett på hverandre hjelper oss med å etablere plasseringen av punkter og objekter i rommet. De er koordinatakslene identifisert som x-aksen, y-aksen og z-aksen, tydelig synlige i hjørnet av et rektangulært rom som det nedenfor:

Figur 4. Det kartesiske aksesystemet består av tre linjer vinkelrett på hverandre, hver av dem har en preferanseretning i rommet. Left Image Credits: treybunn 2 via Flickr. Rett bilde; Needpix.

I panoramaet over byen, til høyre, blir også vinkelrettheten mellom skyskraperen og bakken lagt merke til. Den første vi vil si er langs z-aksen, mens bakken er et plan, som i dette tilfellet er xy-planet.

Hvis bakken utgjør xy-planet, er skyskraperen også vinkelrett på enhver aveny eller gate, noe som garanterer dens stabilitet, siden en skrå struktur er ustabil.

Og i gatene, uansett hvor det er rektangulære hjørner, er det vinkelrett linjer. Mange veier og gater har en vinkelrett utforming, så lenge terrenget og de geografiske egenskapene tillater det.

For å uttrykke forkortet vinkelretthet mellom linjer, segmenter eller vektorer, brukes symbolet ⊥. For eksempel, hvis linje L ₁ er vinkelrett på linjen L ₂ , skriver vi:

L ₁ ⊥ L ₂

Flere eksempler på vinkelrett linjer

- I utformingen er de vinkelrette linjene veldig til stede, siden mange vanlige gjenstander er basert på firkanter og rektangler. Disse firkantene er preget av innvendige vinkler på 90 º, fordi sidene er parallelle to for to:

Figur 5. Kvadrater og rektangler er en del av mange utførelser, for eksempel denne enkle pappesken for å lagre varer. Kilde: F. Zapata.

- Feltene der forskjellige idretter utøves, er avgrenset av mange firkanter og rektangler. Disse igjen inneholder vinkelrett linjer.

- To av segmentene som utgjør en riktig trekant er vinkelrett på hverandre. Disse kalles bena, mens den resterende linjen kalles hypotenusen.

- Linjene til det elektriske feltvektoren er vinkelrett på overflaten til en leder i elektrostatisk likevekt.

- For en ladet leder er ekvipotensielle linjer og overflater alltid vinkelrett på det som er på det elektriske feltet.

- I rørsystemer eller ledningssystemer som brukes til å transportere forskjellige typer væsker, for eksempel gass som vises i figur 1, er det vanlig å ha rettvinklede albuer. Derfor danner de vinkelrett linjer, slik er tilfellet med et fyrrom:

Figur 6. Rør i et kjelerom. Kilde: Wikimedia Commons. Roger McLassus / CC BY-SA (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)

Øvelser

- Oppgave 1

Tegn to vinkelrett linjer ved hjelp av en linjal og et kompass.

Løsning

Det er veldig enkelt å gjøre ved å følge disse trinnene:

-Den første linjen tegnes, kalt AB (svart).

- Over (eller under hvis du foretrekker det) AB-merke punkt P, gjennom hvilket vinkelrett passerer. Hvis P er rett over (eller under) midten av AB, er den vinkelrett halveringsdelen til segment AB.

-Med kompasset sentrert på P, tegne en sirkel som skjærer AB på to punkter, kalt A 'og B' (rød).

-Kompasset åpnes ved A'P, det er sentrert på A 'og det trekkes en omkrets som går gjennom P (grønt).

-Gjenta forrige trinn, men nå måler du lengden på segmentet B'P (grønt). Begge buer med omkrets krysser hverandre ved punkt Q under P og selvfølgelig ved sistnevnte.

-Punktene P og Q er forbundet med linjalen og den vinkelrette linjen (blå) er klar.

Endelig må alle hjelpekonstruksjoner slettes nøye, og bare etterlate de vinkelrette.

Figur 6. Sporing av vinkelrett linjer med en linjal og kompass. Kilde: Wikimedia Commons.

- Oppgave 2

To linjer L ₁ og L ₂ er vinkelrett hvis deres respektive skråninger m ₁ og m ₂ oppfyller dette forholdet:

m ₁ = -1 / m ₂

Gitt linjen y = 5x - 2, finn en linje vinkelrett på den og som passerer gjennom punktet (-1, 3).

Løsning

-Først er skråningen på den vinkelrette linjen m _⊥ , som angitt i utsagnet. Helningen på den opprinnelige linjen er m = 5, koeffisienten som følger med "x". Så:

m _⊥ = -1/5

-Der ligningen av den vinkelrette linjen y _{⊥ konstrueres, og} erstatter den tidligere funnet verdien:

y _⊥ = -1 / 5x + b

-Der blir verdien av b bestemt, ved hjelp av punktet gitt av utsagnet, (-1,3), siden den vinkelrette linjen må passere gjennom den:

y = 3

x = -1

erstatte:

3 = -1/5 (-1) + b

Løs for verdien av b:

b = 3- (1/5) = 14/5

-Finalt er den endelige ligningen bygget:

og _⊥ = -1 / 5x + 14/5

referanser

1. Baldor, A. 2004. Plan og romgeometri. Kulturpublikasjoner.
2. Clemens, S. 2001. Geometri med applikasjoner og problemløsning. Addison Wesley.
3. Matematikk er morsomt, vinkelrett linjer. Gjenopprettet fra: mathisfun.com.
4. Monterey Institute. Vinkelrette linjer. Gjenopprettet fra: montereyinstitute.org.
5. Wikipedia. Vinkelrette linjer. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org.