HVA ER TRIGONOMETRISKE GRENSER? (ØVELSER LØST) - MATTE - 2025

De trigonometriske grensene er grenser for funksjoner slik at disse funksjonene dannes av trigonometriske funksjoner.

Det er to definisjoner som må være kjent for å forstå hvordan man beregner en trigonometrisk grense.

Disse definisjonene er:

- Begrensning av en funksjon «f» når «x» har en tendens til «b»: den består i å beregne verdien som f (x) nærmer seg som «x» nærmer seg «b», uten å nå «b» ».

- Trigonometriske funksjoner: de trigonometriske funksjonene er sinus-, kosinus- og tangensfunksjonene, betegnet med henholdsvis sin (x), cos (x) og solbrun (x).

De andre trigonometriske funksjonene er hentet fra de tre funksjonene som er nevnt ovenfor.

Funksjonsgrenser

For å tydeliggjøre konseptet om en funksjonsgrense, vil vi fortsette å vise noen eksempler med enkle funksjoner.

- Grensen for f (x) = 3 når "x" har en tendens til "8" er lik "3", siden funksjonen alltid er konstant. Uansett hvor mye "x" er verdt, vil verdien av f (x) alltid være "3".

- Grensen for f (x) = x-2 når «x» har en tendens til «6» er «4». Siden når "x" nærmer seg "6" så "x-2" nærmer seg "6-2 = 4".

- Grensen for g (x) = x² når "x" har en tendens til "3" er lik 9, siden når "x" nærmer seg "3" så "x²" nærmer seg "3² = 9" .

Som det kan sees i de foregående eksemplene, består beregning av en grense av å evaluere verdien som "x" har til funksjonen, og resultatet vil være verdien av grensen, selv om dette bare gjelder for kontinuerlige funksjoner.

Er det mer kompliserte grenser?

Svaret er ja. Eksemplene ovenfor er de enkleste eksemplene på grenser. I kalkulasjonsbøker er hovedgrensøvelsene de som genererer en ubestemmelse av typen 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 og (∞) ^ 0.

Disse uttrykkene kalles ubestemmelser siden de er uttrykk som ikke gir mening matematisk.

I tillegg, avhengig av funksjonene som er involvert i den opprinnelige grensen, kan resultatet oppnådd når du løser ubestemmelsene, være forskjellig i hvert tilfelle.

Eksempler på enkle trigonometriske grenser

For å løse grenser er det alltid veldig nyttig å kjenne grafene til funksjonene som er involvert. Grafene over sinus-, kosinus- og tangensfunksjonene er vist nedenfor.

Noen eksempler på enkle trigonometriske grenser er:

- Beregn syndsgrensen (x) når «x» har en tendens til «0».

Når du ser på grafen, kan det sees at hvis "x" kommer nærmere "0" (både fra venstre og høyre), så kommer også grafen til sinusen nærmere "0". Derfor er syndsgrensen (x) når "x" har en tendens til "0" "0".

- Beregn grensen for cos (x) når «x» har en tendens til «0».

Ved å observere grafen til kosinus kan det sees at når "x" er nær "0", så er grafen til kosinus nær "1". Dette innebærer at grensen for cos (x) når "x" har en tendens til "0" er lik "1".

En grense kan eksistere (være et tall), som i de foregående eksemplene, men det kan også være at den ikke eksisterer som vist i følgende eksempel.

- Grensen for brunfarge (x) når «x» har en tendens til «Π / 2» fra venstre er lik «+ ∞», som det fremgår av grafen. På den annen side er grensen for brunfarge (x) når "x" har en tendens til "-Π / 2" fra høyre lik "-∞".

Trigonometriske grenser identiteter

To veldig nyttige identiteter når du beregner trigonometriske grenser er:

- Grensen for «sin (x) / x» når «x» har en tendens til «0» er lik «1».

- Grensen for «(1-cos (x)) / x» når «x» har en tendens til «0» er lik «0».

Disse identitetene brukes veldig ofte når du har en slags ubestemmelse.

Løste øvelser

Løs for følgende grenser ved å bruke identitetene beskrevet ovenfor.

- Beregn grensen på «f (x) = sin (3x) / x» når «x» har en tendens til «0».

Hvis funksjonen "f" blir evaluert til "0", vil en ubestemmelse av type 0/0 oppnås. Derfor må vi prøve å løse denne ubestemmelsen ved å bruke identitetene som er beskrevet.

Den eneste forskjellen mellom denne grensen og identiteten er tallet 3 som vises innenfor sinusfunksjonen. For å bruke identiteten, må funksjonen «f (x)» skrives om på følgende måte «3 * (sin (3x) / 3x)». Nå er både sinusargumentet og nevneren like.

Så når "x" har en tendens til "0", bruker identiteten "3 * 1 = 3". Derfor er grensen for f (x) når "x" har en tendens til "0" lik "3".

- Beregn grensen på «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» når «x» har en tendens til «0».

Når "x = 0" er substituert i g (x), oppnås en ubestemmelse av typen ∞-∞. For å løse det blir fraksjonene først trukket fra, noe som gir "(1-cos (x)) / x".

Når vi bruker den andre trigonometriske identiteten, har vi at grensen for g (x) når «x» har en tendens til «0» er lik 0.

- Beregn grensen på «h (x) = 4tan (5x) / 5x» når «x» har en tendens til «0».

Igjen, hvis h (x) blir evaluert til "0", vil en ubestemmelse av type 0/0 oppnås.

Omskriving som (5x) som sin (5x) / cos (5x) resulterer i h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Å bruke at grensen for 4 / cos (x) når "x" har en tendens til "0" er lik "4/1 = 4" og den første trigonometriske identiteten oppnås at grensen for h (x) når "x" har en tendens a "0" er lik "1 * 4 = 4".

observasjon

Trigonometriske grenser er ikke alltid like enkle å løse. Bare grunnleggende eksempler ble vist i denne artikkelen.

referanser

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Matematikk. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematikk: en problemløsende tilnærming (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 utg.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Plane Analytical Geometry. Mérida - Venezuela: Redaksjonell Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Kalkulus (niende utg.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differensialberegning med tidlige transcendente funksjoner for Science and Engineering (Andre utgave utg.). Hypotenusen.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Del: Analytical Conics (1907) (reprint ed.). Lynkilde.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.