MORGAN LAWS - MATTE - 2025

Morans l øyne er inferensregler som brukes i proposisjonell logikk, som fastslår hva resultatet av å nekte en disjunksjon og en sammenheng av proposisjoner eller proposisjonsvariabler. Disse lovene ble definert av matematikeren Augustus De Morgan.

Morgan's lover representerer et veldig nyttig verktøy for å demonstrere gyldigheten av matematisk resonnement. Senere ble de generalisert innen konseptet med sett av matematikeren George Boole.

Denne generaliseringen gjort av Boole tilsvarer fullstendig de opprinnelige Morgan's lover, men den er utviklet spesielt for sett i stedet for proposisjoner. Denne generaliseringen er også kjent som Morgan's lover.

Gjennomgang av proposisjonell logikk

Før du ser på hva spesifikt Morgan's lover er og hvordan de brukes, er det nyttig å huske noen grunnleggende forestillinger om proposisjonell logikk. (For mer informasjon, se artikkelen om proposisjonell logikk).

Når det gjelder matematisk (eller proposisjonell) logikk, er en slutning en konklusjon som kommer fra et sett med premisser eller hypoteser. Denne konklusjonen, sammen med de nevnte premissene, gir opphav til det som er kjent som matematisk resonnement.

Slik begrunnelse må påvises eller avvises; det vil si at ikke alle konklusjoner eller konklusjoner i matematisk resonnement er gyldige.

feilslutning

En falsk slutning fra visse hypoteser som antas å være sant, er kjent som en feilslutning. Feilighetene har det særegne ved å være argumenter som virker riktige, men matematisk er de ikke det.

Proposisjonell logikk er nettopp ansvarlig for å utvikle og tilveiebringe metoder ved hjelp av hvilke, uten noen tvetydighet, en matematisk begrunnelse kan valideres eller tilbakevises; det vil si utlede en gyldig konklusjon fra lokaler. Disse metodene er kjent som inferensregler, som Morgan's lover er en del av.

proposisjoner

De essensielle elementene i proposisjonell logikk er proposisjoner. Forslag er uttalelser som kan sies å være gyldige eller ikke, men ikke kan være sanne eller usanne samtidig. Det skal ikke være tvetydighet i denne saken.

Akkurat som tall kan kombineres gjennom operasjoner av addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og deling, kan proposisjoner betjenes ved hjelp av de velkjente logiske tilkoblinger (eller kontakter): negasjon (¬, "ikke"), disjunksjon (V , “Eller”), konjunksjon (Ʌ, “og”), betinget (→, “hvis…, da…”) og to-betinget (↔, “hvis, og bare hvis”).

For å jobbe mer generelt, i stedet for å vurdere spesifikke proposisjoner, vurderes proposisjonsvariabler som representerer eventuelle proposisjoner, og de betegnes vanligvis med små bokstaver p, q, r, s, etc.

En proposisjonell formel er en kombinasjon av proposisjonsvariabler ved hjelp av noen av de logiske forbindelsene. Det er med andre ord en sammensetning av proposisjonsvariabler. De er vanligvis betegnet med greske bokstaver.

Det sies at en proposisjonell formel logisk innebærer en annen når sistnevnte er sant hver gang førstnevnte er sant. Dette er betegnet med:

Når den logiske implikasjonen mellom to proposisjonsformler er gjensidig - det vil si når den forrige implikasjonen også er gyldig i motsatt forstand - sies formlene å være logisk likeverdige, og den betegnes med

Logisk ekvivalens er en slags likhet mellom proposisjonsformler og gjør at den ene kan erstattes av den andre når det er nødvendig.

Morgan's Laws

Morgan's lover består av to logiske ekvivalenser mellom to proposisjonsformer, nemlig:

Disse lovene tillater å skille negasjon av en disjunksjon eller konjunksjon, som negasjoner av de involverte variablene.

Den første kan leses slik: negasjonen av en disjunksjon er lik konjunksjonen av negasjonene. Og det andre lyder slik: negering av en konjunksjon er disjunksjon av negasjoner.

Å nekte disjunksjon av to proposisjonsvariabler tilsvarer med andre ord sammenhengen med negasjonene til begge variablene. På samme måte er det å nekte sammenhengen av to proposisjonsvariabler tilsvarer disjunksjonen av negasjonene til begge variablene.

Som tidligere nevnt hjelper substituering av denne logiske ekvivalensen med å bevise viktige resultater sammen med de andre eksisterende inferensreglene. Med disse kan du forenkle mange proposisjonsformler, slik at de er mer nyttige å jobbe med.

Følgende er et eksempel på et matematisk bevis som bruker inferensregler, inkludert Morgan's lover. Spesielt vises det at formelen:

Det tilsvarer:

Det siste er enklere å forstå og utvikle.

Demonstrasjon

Det er verdt å nevne at gyldigheten av Morgan's lover kan demonstreres matematisk. En måte er å sammenligne sannhetstabellene dine.

Settene

De samme inferensreglene og forestillingene om logikk som brukes på proposisjoner kan også utvikles med tanke på sett. Dette er det som kalles boolsk algebra etter matematikeren George Boole.

For å differensiere sakene, er det nødvendig å endre notasjonen og overføre til sett, alle forestillinger om proposisjonell logikk som allerede er sett.

Et sett er en samling av objekter. Sett angis med store bokstaver A, B, C, X, … og elementene i et sett er betegnet med små bokstaver a, b, c, x, etc. Når et element a tilhører et sett X, betegnes det med:

Når den ikke tilhører X, er notasjonen:

Måten å representere sett på er ved å plassere elementene i seler. For eksempel er settet med naturlige tall representert av:

Sett kan også representeres uten å skrive en eksplisitt liste over elementene deres. De kan komme til uttrykk i formen {:}. Tykktarmen blir lest "slik at". Til venstre for de to punktene er det plassert en variabel som representerer elementene i settet, og til høyre side plasseres egenskapen eller tilstanden som de tilfredsstiller. Dette er:

For eksempel kan settet med hele tall større enn -4 uttrykkes som:

Eller tilsvarende, og mer forkortet, som:

Tilsvarende representerer følgende uttrykk settene med henholdsvis oddetall og jevn tall:

Samling, kryss og komplement av sett

Deretter vil vi se analogene til logiske tilkoblinger når det gjelder sett, som er en del av de grunnleggende operasjonene mellom sett.

Union og kryss

Forbundet og skjæringspunktet mellom sett er definert, henholdsvis, som følger:

Tenk for eksempel settene:

Så du må:

Kompletter

Komplementet til et sett er dannet av elementene som ikke hører til nevnte sett (av samme type som originalen representerer). Komplementet til et sett A, er betegnet med:

Innenfor naturlige tall er for eksempel komplementet til settet med jevne tall det med oddetall, og omvendt.

For å bestemme komplementet til et sett, må det universelle eller viktigste settet til elementene som tas i betraktning være klart fra begynnelsen. For eksempel er det ikke det samme å vurdere komplementet til et sett over naturlige tall som over rasjonelle tall.

Tabellen nedenfor viser forholdet eller analogien som eksisterer mellom operasjonene på sett som tidligere er definert, og tilkoblingene til proposisjonell logikk:

Morgan's Laws for Sets

Til slutt er Morgan sine lover om sett:

Med ord: komplementet til en union er skjæringspunktet mellom komplementene, og komplementet til et kryss er sammenslutningen av komplementene.

Et matematisk bevis på den første likheten ville være følgende:

Beviset på det andre er analogt.

referanser

1. Almaguer, G. (2002). Matematikk 1. Redaksjonell Limusa.
2. Aylwin, CU (2011). Logikk, sett og tall. Mérida - Venezuela: Publications Council, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introduksjon til tallteori. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Grunnkurs i tallteori. Nord universitet.
5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Hvordan utvikle matematisk logisk resonnement. University Publishing House.
6. Guevara, MH (nd). Tallteori. EUNED.
7. Zaragoza, AC (sf). Tallteori Redaksjonell visjon Libros.